向量都是有坐标的, 这点相信有点基础的人都知道. 现在换一个角度考虑. 每一个向量的坐标, 想象成一个标量, 想象这些标量怎样伸缩向量.
基向量
在我们一般常见的坐标系, $x$ 和 $y$ 方向的两个向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$, 那么向量 $(3, -2)$ 可以想象成将 $\vec{i}$ 拉伸 3 倍, $\vec{j}$ 在相反方向拉伸 2 倍. 这个角度来看这个向量其实就是两个经过缩放的向量的和.
上面的 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 合称坐标系的基. 坐标系里面的任何向量, 都是通过这两个基向量缩放得来的.
向量缩放然后相加是一个很重要的概念.
其他基向量可以吗?
只要合理, 当然可以. 这个合理就是这两个新的基向量不能共线. 坐标系内任何向量, 都可以通过基向量线性变换得到. 但是不同的基向量, 这个线性变换的方法显然是不一样的.
不过这个时候就应该注意了, 我们在说一个向量的值得时候, 一定要注意它使用的基向量是什么, 否则描述这个向量的值没有意义.
张成空间(span)
所有可以表示为给定(两个)向量线性组合的向量的集合, 成为给定(两个)向量的张成空间. 对于大多数向量对组合, 张成空间就是所有向量的集合; 但是如果这两个向量共线, 那么他们的张成空间就是他们所在的直线了.
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