这部分内容是对前面内容的复习。当然是在题目中复习了。
令 $u, v, w$ 是 $R^7$ 空间内的非零向量，则 $u, v, w$ 生成的向量空间维数是多少？
前面的内容虽然生动形象, 但是所有例子都是编造的, 并不是真的来自实际问题. 这次内容就是看看实际问题中, 线性代数能有什么作用.
这部分进入矩阵空间, 很多概念都和向量空间类似.
我们可以想象一个空间, 它由矩阵组成, 而不是之前说的向量. 只要满足线性空间的封闭性原则即可.
在熟悉了秩和维数后, 我们将要综合四个子空间, 来看看线性代数的核心. 秩就是主元的数目, 子空间的维数就是基的向量的个数.
秩揭示了四个子空间的维数, 这四个子空间是:
矩阵真实大小是多少呢? 一个 $m \times n$ 矩阵, 它的维数不一定是 $n$, 这和线性无关(独立)的列数有关. 我们将会看到列空间的真实维数是它的秩 $r$.
最终我们我懂得什么是基: 线性无关的向量生成(张成)的空间
空间中任意的向量都是基向量的一个特定的线性组合.
这里的概念是线性代数的核心所在.
前面知道了 $Ax=0$ 的解和零空间, 这里继续讨论 $Ax=b$ 的问题, 然后继续研究秩.
我们将会完整解出线性方程组 $Ax=b$, 继续上次的例子: